We study the spectral properties of flipped Toeplitz matrices of the form Hn(f)=YnTn(f), where Tn(f) is the n×n Toeplitz matrix generated by the function f and Yn is the n×n exchange (or flip) matrix having 1 on the main anti-diagonal and 0 elsewhere. In particular, under suitable assumptions on f, we establish an alternating sign relationship between the eigenvalues of Hn(f), the eigenvalues of Tn(f), and the quasi-uniform samples of f. Moreover, after fine-tuning a few known theorems on Toeplitz matrices, we use them to provide localization results for the eigenvalues of Hn(f). Our study is motivated by the convergence analysis of the minimal residual (MINRES) method for the solution of real non-symmetric Toeplitz linear systems of the form Tn(f)x=b after pre-multiplication of both sides by Yn, as suggested by Pestana and Wathen [26]. A selection of numerical experiments is provided to illustrate the theoretical results and to show how to use the spectral localizations for predicting the MINRES performance on linear systems with coefficient matrix Hn(f).

中文翻译：

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翻转 Toeplitz 矩阵的光谱特性和计算应用


我们研究了 Hn（f）=YnTn（f） 形式的翻转 Toeplitz 矩阵的光谱特性，其中 Tn（f） 是由函数 f 生成的 n×n Toeplitz 矩阵，Yn 是 n×n 交换（或翻转）矩阵，在主反对角线上为 1，在其他地方为 0。特别是，在对 f 的适当假设下，我们在 Hn（f） 的特征值、Tn（f） 的特征值和 f 的准均匀样本之间建立了交替符号关系。此外，在微调了 Toeplitz 矩阵上的一些已知定理后，我们使用它们来提供 Hn（f） 特征值的定位结果。正如 Pestana 和 Wathen [26] 所建议的，我们研究的动机是最小残差 （MINRES） 方法的收敛分析，该方法用于求解 Tn（f）x=b 形式的实非对称 Toeplitz 线性系统，该方程式的 Tn（f）x=b 形式。提供了一系列数值实验来说明理论结果，并说明如何使用谱定位来预测系数矩阵为 Hn（f） 的线性系统上的 MINRES 性能。