An r-regular graph is an r-graph, if every odd set of vertices is connected to its complement by at least r edges. Let G and H be r-graphs. An H-coloring of G is a mapping \(f:E(G) \rightarrow E(H)\) such that each r adjacent edges of G are mapped to r adjacent edges of H. For every \(r\ge 3\), let \(\mathcal H_r\) be an inclusion-wise minimal set of connected r-graphs, such that for every connected r-graph G there is an \(H \in \mathcal H_r\) which colors G. The Petersen Coloring Conjecture states that \(\mathcal H_3\) consists of the Petersen graph P. We show that if true, then this is a very exclusive situation. Our main result is that either \(\mathcal H_3 = \{P\}\) or \(\mathcal H_3\) is an infinite set and if \(r \ge 4\), then \(\mathcal H_r\) is an infinite set. In particular, for all \(r \ge 3\), \(\mathcal H_r\) is unique. We first characterize \(\mathcal H_r\) and then prove that if \(\mathcal H_r\) contains more than one element, then it is an infinite set. To obtain our main result we show that \(\mathcal H_r\) contains the smallest r-graphs of class 2 and the smallest poorly matchable r-graphs, and we determine the smallest r-graphs of class 2.

如果每组奇数顶点都由至少 r 条边连接到其补码，则 r 正则图就是 r 图。设 G 和 H 为 r 图。G 的 H 着色是映射 \（f：E（G） \rightarrow E（H）\） 使得 G 的每个 r 个相邻边都映射到 H 的 r 个相邻边。对于每个 \（r\ge 3\），设 \（\mathcal H_r\） 是一组连通的 r 图的最小集合，使得对于每个连通的 r 图 G，都有一个 \（H \in \mathcal H_r\） 为 G 着色。彼得森着色猜想指出 \（\mathcal H_3\） 由彼得森图 P 组成。我们表明，如果属实，那么这是一个非常独特的情况。我们的主要结果是 \（\mathcal H_3 = \{P\}\） 或 \（\mathcal H_3\） 是一个无限集，如果 \（r \ge 4\） ，则 \（\mathcal H_r\） 是一个无限集。特别是，对于所有 \（r \ge 3\） 来说，\（\mathcal H_r\） 是唯一的。我们首先描述 \（\mathcal H_r\），然后证明如果 \（\mathcal H_r\） 包含多个元素，那么它是一个无限集。为了获得我们的主要结果，我们表明 \（\mathcal H_r\） 包含最小的 2 类 r 图和最小的不匹配性差的 r 图，并且我们确定了 2 类的最小 r 图。