The supersaturation problem for a given graph F asks for the minimum number \(h_F(n,q)\) of copies of F in an n-vertex graph with \(\textrm{ex}(n,F)+q\) edges. Subsequent works by Rademacher, Erdős, and Lovász and Simonovits determine the optimal range of q (which is linear in n) for cliques F such that \(h_F(n,q)\) equals the minimum number \(t_F(n,q)\) of copies of F obtained from a maximum F-free n-vertex graph by adding q new edges. A breakthrough result of Mubayi extends this line of research from cliques to color-critical graphs F, and this was further strengthened by Pikhurko and Yilma who established the equality \(h_F(n,q)=t_F(n,q)\) for \(1\le q\le \epsilon _F n\) and sufficiently large n. In this paper, we present several results on the supersaturation problem that extend beyond the existing framework. Firstly, we explicitly construct infinitely many graphs F with restricted properties for which \(h_F(n,q)<q\cdot t_F(n,1)\) holds when \(n\gg q\ge 4\), thus refuting a conjecture of Mubayi. Secondly, we extend the result of Pikhurko–Yilma by showing the equality \(h_F(n,q)=t_F(n,q)\) in the range \(1\le q\le \epsilon _F n\) for any member F in a diverse and abundant graph family (which includes color-critical graphs, disjoint unions of cliques \(K_r\), and the Petersen graph). Lastly, we prove the existence of a graph F for any positive integer s such that \(h_F(n,q)=t_F(n,q)\) holds when \(1\le q\le \epsilon _F n^{1-1/s}\), and \(h_F(n,q)<t_F(n,q)\) when \(n^{1-1/s}/\epsilon _F\le q\le \epsilon _F n\), indicating that \(q=\Theta (n^{1-1/s})\) serves as the threshold for the equality \(h_F(n,q)=t_F(n,q)\). We also discuss some additional remarks and related open problems.

给定图 F 的过饱和度问题要求在具有 \（\textrm{ex}（n，F）+q\） 条边的 n 顶点图中 F 副本的最小数量 \（h_F（n，q）\） 个。Rademacher、Erdős、Lovász 和 Simonovits 的后续工作确定了团 F 的 q 的最佳范围（在 n 中是线性的），使得 \（h_F（n，q）\） 等于通过添加 q 条新边从最大无 F n 顶点图中获得的 F 副本的最小数量 \（t_F（n，q）\）。Mubayi 的一个突破性成果将这一研究路线从派系扩展到颜色关键图 F，Pikhurko 和 Yilma 进一步加强了这一点，他们为 \（1\le q\le \epsilon _F n\） 建立了相等式 \（h_F（n，q）=t_F（n，q）\） 和足够大的 n。在本文中，我们提出了超越现有框架的过饱和度问题的几个结果。首先，我们显式构造了无限多个具有受限属性的图 F，当 \（n\gg q\ge 4\） 时 \（h_F（n，q）<q\cdot t_F（n，1）\） 成立，从而反驳了 Mubayi 的猜想。其次，我们扩展了 Pikhurko-Yilma 的结果，显示了多样化和丰富的图族（包括颜色关键图、派系 \（K_r\） 的不相交联合和彼得森图）中任何成员 F 在 \（1\le q\le \le \epsilon _F n\） 范围内的等式 \（h_F（n，q）=t_F（n，q）\）。 最后，我们证明了任何正整数 s 存在图 F，使得 \（h_F（n，q）=t_F（n，q）\） 在 \（1\le q\le q\le \epsilon _F n^{1-1/s}\） 时成立，当 \（n^{1-1/s}/\epsilon _F\le q\le \epsilon _F n\） 时 \（h_F（n，q）<t_F（n，q）\） 成立， 表示 \（q=\Theta （n^{1-1/s}）\） 作为相等 \（h_F（n，q）=t_F（n，q）\） 的阈值。我们还讨论了一些额外的评论和相关的未解决的问题。