A subset \(\mathcal {C}\subseteq \{0,1,2\}^n\) is said to be a trifferent code (of block length n) if for every three distinct codewords \(x,y, z \in \mathcal {C}\), there is a coordinate \(i\in \{1,2,\ldots ,n\}\) where they all differ, that is, \(\{x(i),y(i),z(i)\}\) is same as \(\{0,1,2\}\). Let T(n) denote the size of the largest trifferent code of block length n. Understanding the asymptotic behavior of T(n) is closely related to determining the zero-error capacity of the (3/2)-channel defined by Elias (IEEE Trans Inform Theory 34(5):1070–1074, 1988), and is a long-standing open problem in the area. Elias had shown that \(T(n)\le 2\times (3/2)^n\) and prior to our work the best upper bound was \(T(n)\le 0.6937 \times (3/2)^n\) due to Kurz (Example Counterexample 5:100139, 2024). We improve this bound to \(T(n)\le c \times n^{-2/5}\times (3/2)^n\) where c is an absolute constant.

如果对于每三个不同的码字 \（x，y， z \in \mathcal {C}\），有一个坐标 \（i\in \{1,2，\ldots ，n\}\） 它们都不同，即 \（\{x（i），y（i），z（i）\}\） 与 \（\{0,1,2\}\） 相同，则子集 \（\mathcal {C}\subseteq \{0,1,2\}^n\） 被称为三元码（块长 n）。设 T（n） 表示区块长度 n 的最大三元代码的大小。理解 T（n） 的渐近行为与确定 Elias 定义的 （3/2） 通道的零误差容量密切相关 （IEEE Trans Inform Theory 34（5）：1070–1074， 1988），并且是该领域长期存在的悬而未决的问题。Elias 已经证明 \（T（n）\le 2\times （3/2）^n\），在我们的工作之前，由于库尔茨，最佳上限是 \（T（n）\le 0.6937 \times （3/2）^n\） （示例反例 5：100139,2024）。我们将这个边界提高到 \（T（n）\le c \times n^{-2/5}\times （3/2）^n\），其中 c 是一个绝对常数。