Let G be a graph and X⊆V(G). Then, vertices x and y of G are X-visible if there exists a shortest x,y-path where no internal vertices belong to X. The set X is a mutual-visibility set of G if every two vertices of X are X-visible, while X is a total mutual-visibility set if any two vertices from V(G) are X-visible. The cardinality of a largest mutual-visibility set (resp. total mutual-visibility set) is the mutual-visibility number (resp. total mutual-visibility number) μ(G) (resp. μt(G)) of G. It is known that computing μ(G) is an NP-complete problem, as well as μt(G). In this paper, we study the (total) mutual-visibility in hypercube-like networks (namely, hypercubes, Fibonacci cubes, cube-connected cycles, and butterflies). Concerning computing μ(G), we provide approximation algorithms for hypercubes, Fibonacci cubes and cube-connected cycles, while we give an exact formula for butterflies. Concerning computing μt(G) (in the literature, already studied in hypercubes), whereas we obtain exact formulae for both cube-connected cycles and butterflies.

中文翻译：

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类超立方体图中的互和完全互能


设 G 为图形，X⊆V（G）。然后，如果存在最短的 x，y 路径，并且没有内部顶点属于 X，则 G 的顶点 x 和 y 是 X 可见的。如果 X 的每两个顶点都是 X 可见的，则集合 X 是 G 的互能可见集，如果 V（G） 中的任意两个顶点是 X 可见的，则 X 是总互能可见集。最大的互能可见集（或总互能可见集）的基数是 G 的互能数（或总互能可见数）μ（G） （或 μt（G））。众所周知，计算 μ（G） 是一个 NP 完备问题，μt（G） 也是如此。在本文中，我们研究了超立方体网络（即超立方体、斐波那契立方体、立方体连接环和蝴蝶）中的（总）互能性。关于计算 μ（G），我们为超立方体、斐波那契立方体和立方体连接循环提供了近似算法，同时我们给出了蝴蝶的精确公式。关于计算 μt（G）（在文献中，已经在超立方体中研究过），而我们获得了立方体连接循环和蝴蝶的精确公式。