Transmit a codeword ▪, that belongs to an (ℓ−1)-deletion-correcting code of length n, over a t-deletion channel for some 1≤ℓ≤t<n. Levenshtein (2001) [10], proposed the problem of determining N(n,ℓ,t)+1, the minimum number of distinct channel outputs required to uniquely reconstruct ▪. Prior to this work, N(n,ℓ,t) is known only when ℓ∈{1,2}. Here, we provide an asymptotically exact solution for all values of ℓ and t. Specifically, we show that N(n,ℓ,t)=(2ℓℓ)(t−ℓ)!nt−ℓ−O(nt−ℓ−1). In the special instances: where ℓ=t, we show that N(n,ℓ,ℓ)=(2ℓℓ); and when ℓ=3 and t=4, we show that N(n,3,4)≤20n−150. We also provide a conjecture on the exact value of N(n,ℓ,t) for all values of n, ℓ, and t.

中文翻译：

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缺失通道的序列重建问题：一个完整的渐近解


将属于长度为 n 的 （l−1） 删除校正码 的码字 ▪ ，通过 t 删除信道传输约 1≤l≤t<n。Levenshtein （2001） [10] 提出了确定 N（n，l，t）+1 的问题，即唯一重建▪所需的最小不同通道输出数。在这项工作之前，N（n，l，t） 仅在 l∈{1,2} 时已知。在这里，我们提供了 l 和 t 的所有值的渐近精确解。具体来说，我们表明 N（n，l，t）=（2ll）（t−l）！nt−l−O（nt−l−1）。在特殊情况下：其中 l=t，我们表明 N（n，l，l）=（2ll）;当 l=3 且 t=4 时，我们表明 N（n，3,4）≤20n−150。我们还提供了 n、l 和 t 的所有值的 N（n，l，t） 的精确值的猜想。