A bijection \(\theta :G\rightarrow G\) of a finite group G is an orthomorphism of G if the mapping \(x\mapsto x^{-1}\theta (x)\) is also a bijection. Two orthomorphisms \(\theta \) and \(\phi \) of a finite group G are orthogonal if the mapping \(x\mapsto \theta (x)^{-1}\phi (x)\) is also bijective. We show that there is a pair of orthogonal orthomorphisms of a finite nilpotent group G if and only if the Sylow 2-subgroup of G is either trivial or noncyclic with the definite exceptions of \(G\cong G'\) where \(G'\in \{D_8,Q_8,{\mathbb {Z}}_3,{\mathbb {Z}}_9\}\) and except possibly for \(G\cong Q_8\times {\mathbb {Z}}_9\) or \(G\cong SD_{2^n}\times {\mathbb {Z}}_3\) for any \(n\geqslant 4\). This result yields the existence of difference matrices over finite nilpotent groups with four rows.

如果映射 \（x\mapsto x^{-1}\theta （x）\） 也是双射，则有限群 G 的双射 \（\theta ：G\rightarrow G\） 是 G 的正交。如果映射 \（x\mapsto \theta （x）^{-1}\phi （x）\） 也是双射的，则有限群 G 的两个正交 \（\theta \） 和 \（\phi \） 是正交的。我们表明，当且仅当 G 的 Sylow 2 子群是平凡的或非循环的，其中 \（G\cong G'\） 的明确例外是 \（G'\in \{D_8，Q_8，{\mathbb {Z}}_3，{\mathbb {Z}}_9\}\） 并且可能除了 \（G\cong Q_8\times {\mathbb {Z}}_9\） 或 \（G\cong SD_{2^n}\times {\mathbb {Z}}_3\） 之外，对于任何 \（n\geqslant 4\）。此结果得出了具有四行的有限幂等群上存在差异矩阵。