In this paper, we introduce novel class of Legendre spectral volume (LSV) methods for solving Allen–Cahn equations. Each spectral volume (SV) is refined with k Gauss–Legendre points to define an arbitrary order control volume (CV). Moreover, the second derivative is handled using the direct discontinuous Galerkin (DDG) approach. Furthermore, four numerical experiments are detailed including 1D and 2D Allen–Cahn equations with Neumann and periodic boundary conditions. These experiments demonstrate the stability and accuracy in capturing phase transitions of the approach. Meanwhile, we also show the LSV methods can maintain physical properties such as energy dissipation and uniform boundedness. It is worth mentioning that we observe that the LSV methods achieve both optimal convergence and superconvergence as the numerical flux parameter is carefully selected.

中文翻译：

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通过直接间断 Galerkin 公式计算 Allen-Cahn 方程的勒让德谱体积法


在本文中，我们介绍了用于求解 Allen-Cahn 方程的新型勒让德光谱体积 （LSV） 方法。每个光谱体积 （SV） 都使用 k 个高斯-勒让德点进行细化，以定义任意阶控制体积 （CV）。此外，二阶导数使用直接间断伽辽金 （DDG） 方法处理。此外，还详细介绍了四个数值实验，包括带有 Neumann 和周期性边界条件的 1D 和 2D Allen-Cahn 方程。这些实验证明了该方法捕获相变的稳定性和准确性。同时，我们还展示了 LSV 方法可以保持物理特性，例如能量耗散和均匀有界性。值得一提的是，我们观察到 LSV 方法由于数值通量参数是经过精心选择的，因此可以同时实现最佳收敛和超收敛。