For a non-decreasing sequence S=(s1,s2,…) of positive integers, a partition of the vertex set of a graph G into subsets X1,…,Xℓ, such that vertices in Xi are pairwise at distance greater than si for every i∈{1,…,ℓ}, is called an S-packing ℓ-coloring of G. The minimum ℓ for which G admits an S-packing ℓ-coloring is called the S-packing chromatic number of G. In this paper, we consider S-packing colorings of the integer distance graphs with respect two positive integers k and t, which are the graphs whose vertex set is Z, and two vertices x,y∈Z are adjacent whenever |x−y|∈{k,t}. We complement partial results from two earlier papers, thus determining all values of the S-packing chromatic numbers of these distance graphs for all sequence S such that si≤2 for all i. In particular, if S=(1,1,2,2,…), then the S-packing chromatic number is 2 if k+t is even, and 4 otherwise, while if S=(1,2,2,…), then the S-packing chromatic number is 5, unless {k,t}={2,3} when it is 6; when S=(2,2,2,…), the corresponding formula is more complex.

中文翻译：

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距离基数集为 2 的距离图的 S 打包着色


对于正整数的非递减序列 S=（s1，s2,...），将图 G 的顶点集划分为子集 X1,...,Xl，使得 习 中的顶点在每个 i∈{1,...,l} 的距离大于 si 处成对，称为 G 的 S 打包 l 着色。G 接受 S 填充 l 着色的最小 l 称为 G 的 S 填充色数。在本文中，我们考虑了关于两个正整数 k 和 t 的整数距离图的 S 打包着色，这两个图的顶点集是 Z，并且每当 |x−y|∈{k，t} 时两个顶点 x，y∈Z 相邻。我们补充了前两篇论文的部分结果，从而确定了所有序列 S 的这些距离图的 S 打包色数的所有值，使得所有 i 的 si≤2。特别是，如果 S=（1,1,2,2,...），则 S 压缩色数如果 k+t 为偶数，则 S 压缩色数为 2，否则为 4，而如果 S=（1,2,2,...），则 S 压缩色数为 5，除非 {k，t}={2,3} 当它是 6 时;当 S=（2,2,2,...） 时，相应的公式更复杂。