Consider making Bayesian inference of vector-valued model parameters x,y based on observed data D. When the ‘posterior’ (i.e., given data) probability density function (PDF) of x,y has a centralised shape, it can be approximated in the spirit of Laplace integral asymptotics by a Gaussian PDF centred at the ‘most probable value’ (MPV) that minimises the objective function Lx,y=-lnpD|x,yp(x,y), where pD|x,y is the likelihood function and px,y is the prior PDF. The ‘posterior covariance matrix’ of x,y that reflects the remaining uncertainty after using data is then equal to the inverse of the Hessian of L(x,y) at the MPV. Suppose the ‘partial MPV’ y^(x) is available, so that ∂L/∂y=0 for any x as long as y=y^(x). Correspondingly, the ‘partially minimised’ objective function that depends only on x is defined as L^x=Lx,y^(x). In the above context, this article shows that the posterior covariance matrix of x can be obtained as the inverse of the Hessian of L^(x) at the MPV. That is, the marginalisation of y in MPV can be carried over to the covariance matrix. The result can also be extended to the inverse of Fisher information matrix, which gives the large-sample asymptotic form of the posterior covariance matrix when there is no modelling error. The theory is applied to operational modal analysis with well-separated modes, providing an alternative means to conventional approach for evaluating the posterior covariance matrix of spectral parameters (e.g., frequency, damping) after marginalising out spatial parameters such as the mode shape. Issues of theoretical and computational nature are discussed and verified by synthetic, laboratory and field data.

中文翻译：

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边缘化后验协方差矩阵及其在贝叶斯操作模态分析中的应用


考虑根据观测数据 D 对向量值模型参数 x，y 进行贝叶斯推断。当 x，y 的“后验”（即给定数据）概率密度函数 （PDF） 具有集中形状时，本着拉普拉斯积分渐近学的精神，可以通过以“最可能值”（MPV） 为中心的高斯 PDF 进行近似，该 PDF 使目标函数 Lx，y=-lnpD|x，yp（x，y） 最小化，其中 pD|x，y 是似然函数，px，y 是之前的 PDF。使用数据后反映剩余不确定性的 x，y 的“后验协方差矩阵”等于 MPV 处 L（x，y） 的 Hessian 矩阵的倒数。假设“部分 MPV”y^（x） 可用，因此只要 y=y^（x），任何 x 的 ∂L/∂y=0。相应地，仅依赖于 x 的“部分最小化”目标函数定义为 L^x=Lx，y^（x）。在上述上下文中，本文表明 x 的后验协方差矩阵可以作为 MPV 处 L^（x） 的 Hessian 矩阵的倒数获得。也就是说，MPV 中 y 的边缘化可以转移到协方差矩阵中。结果也可以扩展到 Fisher 信息矩阵的逆矩阵，当没有建模误差时，它给出了后验协方差矩阵的大样本渐近形式。该理论应用于具有良好分离模式的运筹模态分析，提供了一种替代传统方法的方法，用于在边缘化空间参数（如振型）后评估频谱参数（例如频率、阻尼）的后验协方差矩阵。理论和计算性质的问题通过合成、实验室和现场数据进行讨论和验证。