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Counting cycles in planar triangulations
Journal of Combinatorial Theory Series B ( IF 1.2 ) Pub Date : 2024-11-05 , DOI: 10.1016/j.jctb.2024.10.002 On-Hei Solomon Lo, Carol T. Zamfirescu
Journal of Combinatorial Theory Series B ( IF 1.2 ) Pub Date : 2024-11-05 , DOI: 10.1016/j.jctb.2024.10.002 On-Hei Solomon Lo, Carol T. Zamfirescu
We investigate the minimum number of cycles of specified lengths in planar n -vertex triangulations G . We prove that this number is Ω ( n ) for any cycle length at most 3 + max { rad ( G ⁎ ) , ⌈ ( n − 3 2 ) log 3 2 ⌉ } , where rad ( G ⁎ ) denotes the radius of the triangulation's dual, which is at least logarithmic but can be linear in the order of the triangulation. We also show that there exist planar hamiltonian n -vertex triangulations containing O ( n ) many k -cycles for any k ∈ { ⌈ n − n 5 ⌉ , … , n } . Furthermore, we prove that planar 4-connected n -vertex triangulations contain Ω ( n ) many k -cycles for every k ∈ { 3 , … , n } , and that, under certain additional conditions, they contain Ω ( n 2 ) k -cycles for many values of k , including n .
中文翻译:
平面三角测量中的周期计数
我们研究了平面 n 顶点三角剖分 G 中指定长度的最小循环数。我们证明,对于任何周期长度,这个数字都是 Ω(n),最大 3+max{rad(G⁎),⌈(n−32)log32⌉},其中 rad(G⁎) 表示三角剖分对偶的半径,它至少是对数的,但可以按照三角剖分的顺序是线性的。我们还表明,对于任何 k∈{⌈n−n5⌉,...,n},存在包含 O(n) 多个 k 周期的平面哈密顿 n 顶点三角剖分。此外,我们证明平面 4 连通 n 顶点三角剖分对于每个 k∈{3,...,n} 包含 Ω(n) 个周期,并且在某些附加条件下,它们包含 Ω(n2)k 个周期,用于 k 的许多值,包括 n。
更新日期:2024-11-05
中文翻译:
平面三角测量中的周期计数
我们研究了平面 n 顶点三角剖分 G 中指定长度的最小循环数。我们证明,对于任何周期长度,这个数字都是 Ω(n),最大 3+max{rad(G⁎),⌈(n−32)log32⌉},其中 rad(G⁎) 表示三角剖分对偶的半径,它至少是对数的,但可以按照三角剖分的顺序是线性的。我们还表明,对于任何 k∈{⌈n−n5⌉,...,n},存在包含 O(n) 多个 k 周期的平面哈密顿 n 顶点三角剖分。此外,我们证明平面 4 连通 n 顶点三角剖分对于每个 k∈{3,...,n} 包含 Ω(n) 个周期,并且在某些附加条件下,它们包含 Ω(n2)k 个周期,用于 k 的许多值,包括 n。