Let n be an odd positive integer, p be an odd prime with \(p\equiv 3\pmod 4\), \(d_{1} = {{p^{n}-1}\over {2}} -1 \) and \(d_{2} =p^{n}-2\). The function defined by \(f_u(x)=ux^{d_{1}}+x^{d_{2}}\) is called the generalized Ness–Helleseth function over \(\mathbb {F}_{p^n}\), where \(u\in \mathbb {F}_{p^n}\). It was initially studied by Ness and Helleseth in the ternary case. In this paper, for \(p^n \equiv 3 \pmod 4\) and \(p^n \ge 7\), we provide the necessary and sufficient condition for \(f_u(x)\) to be an APN function. In addition, for each u satisfying \(\chi (u+1) = \chi (u-1)\), the differential spectrum of \(f_u(x)\) is investigated, and it is expressed in terms of some quadratic character sums of cubic polynomials, where \(\chi (\cdot )\) denotes the quadratic character of \({\mathbb {F}}_{p^n}\).

设 n 为奇数正整数，p 为奇数素数，其中 \（p\equiv 3\pmod 4\），\（d_{1} = {{p^{n}-1}\over {2}} -1 \） 和 \（d_{2} =p^{n}-2\）。由 \（f_u（x）=ux^{d_{1}}+x^{d_{2}}\） 定义的函数称为 \（\mathbb {F}_{p^n}\） 上的广义 Ness-Helleseth 函数，其中 \（u\in \mathbb {F}_{p^n}\）。它最初是由 Ness 和 Helleseth 在三元情况下研究的。在本文中，对于 \（p^n \equiv 3 \pmod 4\） 和 \（p^n \ge 7\），我们提供了 \（f_u（x）\） 成为 APN 函数的必要和充分条件。此外，对于每个满足 \（\chi （u+1） = \chi （u-1）\） 的 u，研究了 \（f_u（x）\） 的微分谱，它用三次多项式的一些二次字符和表示，其中 \（\chi （\cdot ）\） 表示 \（{\mathbb {F}}_{p^n}\） 的二次性。