Fix a finite field $K$ of order $q$ and a word $w$ in a free group $F$ on $r$ generators. A $w$-random element in ${\mathrm{GL}<!--FUNCTION\; APPLICATION-->}_N(K)$ is obtained by sampling $r$ independent uniformly random elements $g_1,\dots <!--FUNCTION\; APPLICATION-->,g_r\in {\mathrm{GL}<!--FUNCTION\; APPLICATION-->}_N(K)$ and evaluating $w(g_1,\dots <!--FUNCTION\; APPLICATION-->,g_r)$. Consider ${\mathbb{𝔼}}_w[\mathrm{fix}<!--FUNCTION\; APPLICATION-->]$, the average number of vectors in $K^N$ fixed by a $w$-random element. We show that ${\mathbb{𝔼}}_w[\mathrm{fix}<!--FUNCTION\; APPLICATION-->]$ is a rational function in $q^N$. If $w=u^d$ with $u$ a nonpower, then the limit $\underset{N\to \infty }{\lim <!--FUNCTION\; APPLICATION-->}{\mathbb{𝔼}}_w[\mathrm{fix}<!--FUNCTION\; APPLICATION-->]$ depends only on $d$ and not on $u$. These two phenomena generalize to all stable characters of the groups ${\{{\mathrm{GL}<!--FUNCTION\; APPLICATION-->}_N(K)\}}_N$.

A main feature of this work is the connection we establish between word measures on ${\mathrm{GL}<!--FUNCTION\; APPLICATION-->}_N(K)$ and the free group algebra $K[F]$. A classical result of Cohn (1964) and Lewin (1969) is that every one-sided ideal of $K[F]$ is a free $K[F]$-module with a well-defined rank. We show that for $w$ a nonpower, ${\mathbb{𝔼}}_w[\mathrm{fix}<!--FUNCTION\; APPLICATION-->]=2+\frac{C}{q^N}+O\left(\frac{1}{q^{2N}}\right)$, where $C$ is the number of rank-2 right ideals $I\le K[F]$ which contain $w-1$ but not as a basis element. We describe a full conjectural picture generalizing this result, featuring a new invariant we call the $q$-primitivity rank of $w$.

In the process, we prove several new results about free group algebras. For example, we show that if $T$ is any finite subtree of the Cayley graph of $F$, and $I\le K[F]$ is a right ideal with a generating set supported on $T$, then $I$ admits a basis supported on $T$. We also prove an analog of Kaplansky’s unit conjecture for certain $K[F]$-modules.

$F$ ix r 发电机 $w$ 上 o $r$ de $r$ $q$ 的有限 fiel $d$ $K$ 和 a $w$ ord 中的自由 $u$ gro p F 中的命令。中的 $w$ 随机元素 是通过 ${\mathrm{GL}}_N(K)$ 对 r 独立的 $u$ niform随机元素 $g_1,\dots ,g_r\in {\mathrm{GL}}_N(K)$ 进行采样并计算 $w(g_1,\dots ,g_r)$ 来获得的。考虑 ${\mathbb{𝔼}}_w[\mathrm{fix}]$ ，由 w 随机元素 $K^N$ 固定的平均向量数。我们证明 ${\mathbb{𝔼}}_w[\mathrm{fix}]$ 是 中的 $q^N$ 有理函数。如果 $w=u^d$ you 为 non power，则限制 $\underset{N\to \infty }{\lim }{\mathbb{𝔼}}_w[\mathrm{fix}]$ 仅取决于 d，而不取决于 u。这两种现象推广到群 ${\{{\mathrm{GL}}_N(K)\}}_N$ 的所有稳定特征 。

这个 $w$ ork 的一个主要特点是在 on 和自由群代数 之间建立的词度量 ${\mathrm{GL}}_N(K)$ $K[F]$ e 之间的连接 $w$ 。ohn （1964） 和 Lewin （1969） 的一个 $C$ 经典结果是，每个单侧理想 of $K[F]$ 都是一个具有明确秩的自由 $K[F]$ -module。我们表明，对于 w 一个非幂， ${\mathbb{𝔼}}_w[\mathrm{fix}]=2+\frac{C}{q^N}+O\left(\frac{1}{q^{2N}}\right)$ 其中 C 是包含 $w-1$ 但不作为基元的 2 阶正确理想的 $I\le K[F]$ 数量。我们描述了一个完整的猜想图来概括这个结果，其中有一个我们称为 $q$ w 的 -primitivity 秩的新不变量。

$I$ 在这个过程中，我们证明了关于自由群代数的几个新结果。 $F$ 或者举个例子，我们表明，如果 $T$ 是 F 的 Cayley 图的任何有限子树，并且 $I\le K[F]$ 是 上支持的生成集的正确理想 $T$ ，那么我承认 上 $T$ 支持的基。我们还证明了某些 $K[F]$ -modules 的 Kaplansky 单位猜想的模拟。