For a q-polynomial L over a finite field \(\mathbb {F}_{q^n}\), we characterize the differential spectrum of the function \(f_L:\mathbb {F}_{q^n} \rightarrow \mathbb {F}_{q^n}, x \mapsto x \cdot L(x)\) and show that, for \(n \le 5\), it is completely determined by the image of the rational function \(r_L :\mathbb {F}_{q^n}^* \rightarrow \mathbb {F}_{q^n}, x \mapsto L(x)/x\). This result follows from the classification of the pairs (L, M) of q-polynomials in \(\mathbb {F}_{q^n}[X]\), \(n \le 5\), for which \(r_L\) and \(r_M\) have the same image, obtained in Csajbók et al. (Ars Math Contemp 16(2):585–608, 2019). For the case of \(n>5\), we pose an open question on the dimensions of the kernels of \(x \mapsto L(x) - ax\) for \(a \in \mathbb {F}_{q^n}\). We further present a link between functions \(f_L\) of differential uniformity bounded above by q and scattered q-polynomials and show that, for odd values of q, we can construct CCZ-inequivalent functions \(f_M\) with bounded differential uniformity from a given function \(f_L\) fulfilling certain properties.

对于有限域 \（\mathbb {F}_{q^n}\） 上的 q 多项式 L，我们表征了函数 \（f_L：\mathbb {F}_{q^n} \rightarrow \mathbb {F}_{q^n}， x \mapsto x \cdot L（x）\） 的微分谱，并表明，对于 \（n \le 5\），它完全由有理函数 \（r_L ：\mathbb {F}_{q^n}^* \rightarrow \mathbb {F}_{q^n}， x \maps设置为 L（x）/x\）。这个结果来自于 \（\mathbb {F}_{q^n}[X]\）、\（n \le 5\） 中 q 多项式对 （L， M） 的分类，其中 \（r_L\） 和 \（r_M\） 具有相同的图像，在 Csajbók 等人中获得 （Ars Math Contemp 16（2）：585–608， 2019）。对于 \（n>5\） 的情况，我们提出了一个悬而未决的问题，即 \（a \in \mathbb {F}_{q^n}\） 的 \（x \mapsto L（x） - ax\） 的内核维度。我们进一步提出了上面以 q 为界的微分均匀性函数 \（f_L\） 与分散的 q 多项式之间的联系，并表明，对于 q 的奇数值，我们可以构造 CCZ 不等价函数 \（f_M\），该函数具有与满足某些性质的给定函数 \（f_L\） 具有有界微分均匀性。