Given a monotone submodular set function with a knapsack constraint, its maximization problem has two types of approximation algorithms with running time \(O(n^2)\) and \(O(n^5)\), respectively. With running time \(O(n^5)\), the best performance ratio is \(1-1/e\). With running time \(O(n^2)\), the well-known performance ratio is \((1-1/e)/2\) and an improved one is claimed to be \((1-1/e^2)/2\) recently. In this paper, we design an algorithm with running \(O(n^2)\) and performance ratio \(1-1/e^{2/3}\), and an algorithm with running time \(O(n^3)\) and performance ratio 1/2.

中文翻译：

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使用背负约束的单调子模最大化的新近似值

给定一个具有背负约束的单调子模集函数，其最大化问题具有两种类型的近似算法，分别运行时间为 \（O（n^2）\） 和 \（O（n^5）\）。运行时间 \（O（n^5）\） 时，最佳性能比为 \（1-1/e\）。在运行时间\（O（n^2）\）的情况下，众所周知的性能比是\（（1-1/e）/2\），而最近的改进率据称是\（（1-1/e^2）/2\）。在本文中，我们设计了一种运行时间 \（O（n^2）\） 和性能比率 \（1-1/e^{2/3}\） 的算法，以及一种运行时间 \（O（n^3）\） 和性能比率 1/2 的算法。