We generalize an inequality for the determinant of a real matrix proved by A. Schinzel, to more general exterior products of vectors in Euclidean space. We apply this inequality to the logarithmic embedding of $S$-units contained in a number field $k$. This leads to a bound for the exterior product of $S$-units expressed as a product of heights. Using a volume formula of P. McMullen we show that our inequality is sharp up to a constant that depends only on the rank of the $S$-unit group but not on the field $k$. Our inequality is related to a conjecture of F. Rodriguez Villegas.

中文翻译：

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S 单元外积的界限

我们推广 A 证明的实数矩阵行列式的不等式。 $S$ chinzel，到欧几里德空间中向量的更一般的外积。我们将这个不等式应用于对数嵌入 $S$ - 数字字段中包含的单位 $k$ 。这导致了外积的界限 $S$ - 以高度乘积表示的单位。使用 P. McMullen 的体积公式，我们表明我们的不等式急剧上升到一个仅取决于 run 的常数 $k$ 属于 S 单位组，但不在场 k 上。我们的不平等与 F. Rodriguez Villegas 的猜想有关。