We describe a quantum algorithm for finding the smallest eigenvalue of a Hermitian matrix. This algorithm combines quantum phase estimation and quantum amplitude estimation to achieve a quadratic speedup with respect to the best classical algorithm in terms of matrix dimensionality, i.e. O~(N/ε) ⁹ 9In this work O~ ignores terms that are polylogarithmic in N or 1/ε . black-box queries to an oracle encoding the matrix, where N is the matrix dimension and ɛ is the desired precision. In contrast, the best classical algorithm for the same task requires Ω(N)polylog(1/ε) queries. In addition, this algorithm allows the user to select any constant success probability. We also provide a similar algorithm with the same runtime that allows us to prepare a quantum state lying mostly in the matrix’s low-energy subspace. We implement simulations of both algorithms and demonstrate their application to problems in quantum chemistry and materials science.

中文翻译：

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寻找最小特征值的平方根加速


我们描述了一种用于查找埃尔米特矩阵的最小特征值的量子算法。该算法结合了量子相位估计和量子幅度估计，在矩阵维数方面相对于最佳经典算法实现了二次方的加速，即氧～ （氮/ ε ） ⁹ 9
在这项工作中氧～忽略多对数项氮或者1 / ε 。
对编码矩阵的预言机进行黑盒查询，其中氮是矩阵维数并且ε是所需的精度。相比之下，针对同一任务的最佳经典算法需要Ω （氮）多对数（ 1 / ε ）查询。此外，该算法允许用户选择任何恒定的成功概率。我们还提供了具有相同运行时间的类似算法，使我们能够准备主要位于矩阵低能子空间中的量子态。我们对这两种算法进行了模拟，并展示了它们在量子化学和材料科学问题中的应用。