We prove a purity property in telescopically localized algebraic K K -theory of ring spectra: For n ≥ 1 n\geq 1 , the T ( n ) T(n) -localization of K ( R ) K(R) only depends on the T ( 0 ) ⊕ ⋯ ⊕ T ( n ) T(0)\oplus \dots \oplus T(n) -localization of R R . This complements a classical result of Waldhausen in rational K K -theory. Combining our result with work of Clausen–Mathew–Naumann–Noel, one finds that L T ( n ) K ( R ) L_{T(n)}K(R) in fact only depends on the T ( n − 1 ) ⊕ T ( n ) T(n-1)\oplus T(n) -localization of R R , again for n ≥ 1 n \geq 1 . As consequences, we deduce several vanishing results for telescopically localized K K -theory, as well as an equivalence between K ( R ) K(R) and T C ( τ ≥ 0 R ) TC(\tau _{\geq 0} R) after T ( n ) T(n) -localization for n ≥ 2 n\geq 2 .

我们在望远镜定位代数 K -环谱理论中证明了纯度特性： 对于 n ≥ 1 n\geq 1 ， K （ R ） K（R） 的 T （ n ） T（n） -定位仅取决于 T （ 0 ） ⊕ ⋯ ⊕ T （ n ） T（0）\oplus \dots \oplus T（n） -R 的定位。这补充了 Waldhausen 在有理 K K 理论中的经典结果。将我们的结果与 Clausen-Mathew-Naumann-Noel 的工作相结合，发现 L T （ n ） K （ R ） L_{T（n）}K（R） 实际上只取决于 T （ n − 1 ） ⊕ T （ n ） T（n-1）\oplus T（n） -R 的定位，同样对于 n ≥ 1 n \geq 1 。因此，我们推导出了望远镜定位 K K 理论的几个消失结果，以及 T （ n ） T（n） 定位后 K （ r ） K（R） 和 T C （ τ ≥ 0 R ） TC（\tau _{\geq 0} R） 之间的等效性 n ≥ 2 n\geq 2 .