We prove that every additive set A with energy \(E(A)\ge |A|^3/K\) has a subset \(A'\subseteq A\) of size \(|A'|\ge (1-\varepsilon )K^{-1/2}|A|\) such that \(|A'-A'|\le O_\varepsilon (K^{4}|A'|)\). This is, essentially, the largest structured set one can get in the Balog–Szemerédi–Gowers theorem.

中文翻译：

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关于 Balog、Szemerédi 和 Gowers 定理的注释

我们证明每个具有能量\(E(A)\ge |A|^3/K\)的加法集A都有一个大小为\(|A'|\ge (1 ) 的子集\(A'\subseteq A\) -\varepsilon )K^{-1/2}|A|\)使得\(|A'-A'|\le O_\varepsilon (K^{4}|A'|)\)。从本质上讲，这是 Balog-Szemerédi-Gowers 定理中可以获得的最大结构化集合。