Using the embedded gradient vector field method (see P. Birtea, D. Comănescu (2015) [7]), we present a general formula for the Laplace-Beltrami operator defined on a constraint manifold, written in the ambient coordinates. Regarding the orthogonal group as a constraint submanifold of the Euclidean space of $n\times n$ matrices, we give an explicit formula for the Laplace-Beltrami operator on the orthogonal group using the ambient Euclidean coordinates. We apply this new formula for some relevant functions.

中文翻译：

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环境（欧几里得）坐标中正交群上的 Laplace-Beltrami 算子

使用嵌入梯度向量场方法（参见 P. Birtea, D. Comănescu (2015) [7] ），我们提出了在约束流形上定义的 Laplace-Beltrami 算子的通用公式，并以环境坐标编写。将正交群视为欧几里德空间的约束子流形$n\times n$矩阵，我们使用环境欧几里德坐标给出了正交群上的 Laplace-Beltrami 算子的显式公式。我们将这个新公式应用于一些相关函数。