An interval type-2 fuzzy set (IT2FS) contains the infinite number of embedded membership functions (MFs) defined as type-1 fuzzy sets. The center of gravity (COG) of an IT2FS is obtained by integrating the centroids of all these MFs. However, obtaining the COG of an IT2FS in a continuous domain is impossible because the number of embedded MFs is infinite and, in a discrete domain, comes with exponential time complexity. Therefore, different algorithms were proposed to find the center of centroids (COCs) instead of the COG. These algorithms do not necessarily obtain the exact value of COC; they compete to find a more accurate result in less time. In this study, we propose a simple noniterative method to obtain the COG of IT2FSs. This method only considers the MFs which form the boundary values, that is, the lower MF (LMF) and upper MF (UMF), and obtains their centroids separately. We show that the COG of an IT2FS is equal to the weighted sum of the centroids of its LMF and UMF if the relative areas of LMF and UMF are considered their corresponding weights. We call this method the Indirect COG (ICOG) method because it indirectly obtains the COG of an IT2FS. This method finds the accurate COG of an IT2FS by considering only two MFs instead of infinite MFs. It can also obtain the accurate COG of an uncommon polygonal IT2FS schematically. We use numerical examples to illustrate that the ICOG obtains the accurate COG of an IT2FS very fast in a nonexponential time. We also develop a new triangular interval type-2 fuzzy analytical hierarchy process that uses the ICOG method to accurately defuzzify the IT2 fuzzy weights.

中文翻译：

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一种精确计算区间2型模糊集质心的简单非迭代方法

区间 2 型模糊集 (IT2FS) 包含定义为 1 型模糊集的无限数量的嵌入式隶属函数 (MF)。IT2FS 的重心 (COG) 是通过整合所有这些 MF 的质心获得的。然而，在连续域中获得 IT2FS 的 COG 是不可能的，因为嵌入式 MF 的数量是无限的，并且在离散域中具有指数时间复杂度。因此，提出了不同的算法来寻找质心中心 (COC) 而不是 COG。这些算法不一定能得到COC的准确值；他们竞相在更短的时间内找到更准确的结果。在这项研究中，我们提出了一种简单的非迭代方法来获得 IT2FS 的 COG。该方法只考虑构成边界值的MF，即下MF（LMF）和上MF（UMF），并分别获得它们的质心。我们表明，如果将 LMF 和 UMF 的相对面积视为相应的权重，则 IT2FS 的 COG 等于其 LMF 和 UMF 的质心的加权和。我们将此方法称为间接 COG (ICOG) 方法，因为它间接获得了 IT2FS 的 COG。该方法通过仅考虑两个 MF 而不是无限 MF 来找到 IT2FS 的准确 COG。它还可以示意性地获得不常见的多边形 IT2FS 的准确 COG。我们使用数值示例来说明 ICOG 在非指数时间内非常快速地获得 IT2FS 的准确 COG。我们还开发了一种新的三角区间 2 型模糊层次分析过程，该过程使用 ICOG 方法准确地对 IT2 模糊权重进行去模糊化。我们表明，如果将 LMF 和 UMF 的相对面积视为相应的权重，则 IT2FS 的 COG 等于其 LMF 和 UMF 的质心的加权和。我们将此方法称为间接 COG (ICOG) 方法，因为它间接获得了 IT2FS 的 COG。该方法通过仅考虑两个 MF 而不是无限 MF 来找到 IT2FS 的准确 COG。它还可以示意性地获得不常见的多边形 IT2FS 的准确 COG。我们使用数值示例来说明 ICOG 在非指数时间内非常快速地获得 IT2FS 的准确 COG。我们还开发了一种新的三角区间 2 型模糊层次分析过程，该过程使用 ICOG 方法准确地对 IT2 模糊权重进行去模糊化。我们表明，如果将 LMF 和 UMF 的相对面积视为相应的权重，则 IT2FS 的 COG 等于其 LMF 和 UMF 的质心的加权和。我们将此方法称为间接 COG (ICOG) 方法，因为它间接获得了 IT2FS 的 COG。该方法通过仅考虑两个 MF 而不是无限 MF 来找到 IT2FS 的准确 COG。它还可以示意性地获得不常见的多边形 IT2FS 的准确 COG。我们使用数值示例来说明 ICOG 在非指数时间内非常快速地获得 IT2FS 的准确 COG。我们还开发了一种新的三角区间 2 型模糊层次分析过程，该过程使用 ICOG 方法准确地对 IT2 模糊权重进行去模糊化。