We present a solution for the scattered field caused by an incident wave interacting with an infinite cascade of blades with complex boundary conditions. This extends previous studies by allowing the blades to be compliant, porous or satisfying a generalised impedance condition. Beginning with the convected wave equation, we employ Fourier transforms to obtain an integral equation amenable to the Wiener--Hopf method. This Wiener--Hopf system is solved using a method that avoids the factorisation of matrix functions. The Fourier transform is inverted to obtain an expression for the acoustic potential function that is valid throughout the entire domain. We observe that the principal effect of complex boundary conditions is to perturb the zeros of the Wiener--Hopf kernel, which correspond to the duct modes in the inter-blade region. We focus efforts on understanding the role of porosity, and present a range of results on sound transmission and generation. The behaviour of the duct modes is discussed in detail in order to explain the physical mechanisms behind the associated noise reductions. In particular, we show that cut-on duct modes do not exist for arbitrary porosity coefficients. Conversely, the acoustic modes are unchanged by modifications to the boundary conditions. Consequently, we observe that even modest values of porosity can result in reductions in the sound power level of $5$ dB for the first mode and $20$ dB for the second mode. The solution is essentially analytic (the only numerical requirements are matrix inversion and root finding) and is therefore extremely rapid to compute.

中文翻译：

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具有复杂边界条件的级联的声散射：柔度、孔隙率和阻抗

我们提出了由入射波与具有复杂边界条件的无限级联叶片相互作用引起的散射场的解决方案。这通过允许叶片柔顺、多孔或满足广义阻抗条件来扩展先前的研究。从对流波动方程开始，我们使用傅立叶变换来获得适合 Wiener--Hopf 方法的积分方程。该 Wiener-Hopf 系统使用避免矩阵函数因式分解的方法求解。傅里叶变换被反转以获得在整个域中有效的声势函数的表达式。我们观察到复杂边界条件的主要影响是扰动 Wiener-Hopf 核的零点，这对应于叶片间区域中的管道模式。我们专注于理解孔隙度的作用，并展示了一系列关于声音传输和产生的结果。详细讨论了管道模式的行为，以解释相关降噪背后的物理机制。特别是，我们表明对于任意孔隙度系数不存在截止管道模式。相反，通过修改边界条件，声学模式不变。因此，我们观察到，即使是适度的孔隙率值也会导致第一种模式的声功率级降低 5 美元 dB，第二种模式的声功率级降低 20 美元。该解决方案本质上是解析式的（唯一的数值要求是矩阵求逆和求根），因此计算速度非常快。并展示了一系列关于声音传输和产生的结果。详细讨论了管道模式的行为，以解释相关降噪背后的物理机制。特别是，我们表明对于任意孔隙度系数不存在截止管道模式。相反，通过修改边界条件，声学模式不变。因此，我们观察到，即使是适度的孔隙率值也会导致第一种模式的声功率级降低 5$ dB，第二种模式的声功率级降低 $20$ dB。该解决方案本质上是解析式的（唯一的数值要求是矩阵求逆和求根），因此计算速度非常快。并展示了一系列关于声音传输和产生的结果。详细讨论了管道模式的行为，以解释相关降噪背后的物理机制。特别是，我们表明对于任意孔隙度系数不存在截止管道模式。相反，通过修改边界条件，声学模式不变。因此，我们观察到，即使是适度的孔隙率值也会导致第一种模式的声功率级降低 5 美元 dB，第二种模式的声功率级降低 20 美元。该解决方案本质上是解析式的（唯一的数值要求是矩阵求逆和求根），因此计算速度非常快。详细讨论了管道模式的行为，以解释相关降噪背后的物理机制。特别是，我们表明对于任意孔隙度系数不存在截止管道模式。相反，通过修改边界条件，声学模式不变。因此，我们观察到，即使是适度的孔隙率值也会导致第一种模式的声功率级降低 5 美元 dB，第二种模式的声功率级降低 20 美元。该解决方案本质上是解析式的（唯一的数值要求是矩阵求逆和求根），因此计算速度非常快。详细讨论了管道模式的行为，以解释相关降噪背后的物理机制。特别是，我们表明对于任意孔隙度系数不存在截止管道模式。相反，通过修改边界条件，声学模式不变。因此，我们观察到，即使是适度的孔隙率值也会导致第一种模式的声功率级降低 5 美元 dB，第二种模式的声功率级降低 20 美元。该解决方案本质上是解析式的（唯一的数值要求是矩阵求逆和求根），因此计算速度非常快。通过修改边界条件，声学模式不变。因此，我们观察到，即使是适度的孔隙率值也会导致第一种模式的声功率级降低 5 美元 dB，第二种模式的声功率级降低 20 美元。该解决方案本质上是解析式的（唯一的数值要求是矩阵求逆和求根），因此计算速度非常快。通过修改边界条件，声学模式不变。因此，我们观察到，即使是适度的孔隙率值也会导致第一种模式的声功率级降低 5 美元 dB，第二种模式的声功率级降低 20 美元。该解决方案本质上是解析式的（唯一的数值要求是矩阵求逆和求根），因此计算速度非常快。