编辑荐读 | 有界游程长度序列的波莱尔测度

期刊：Control Theory and Technology

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如果一个线性系统不能得到完全充分地观测，我们能够得到多少关于系统的信息？如果对于一个线性系统的观测结果只是一个二值函数，我们又能够从中得到多少关于系统的信息？而遍历理论又能在其中发挥什么作用？

狭义来说，遍历理论是研究保测变换的渐近性态的数学分支；广义上看，其目的在于研究群在某种结构的空间上作用的定性性质的理论。而线性系统的研究则聚焦于系统的能控能观，或是能达能构。这二者不能说毫无交集，但二者关心的重点并不一致。

2021年，美国德克萨斯理工大学的Clyde F. Martin团队在期刊Control Theory and Technology上发表了一篇关于保测线性系统的能观性的文章。

这篇文章的目的在于探索一类特殊的线性系统（保测线性系统）和遍历理论中某些概念之间的联系。对于一个二维线性系统，作者通过一个特殊的映射——将连续的输出映射到离散的二值空间——从而将其与圆上无理流联系在了一起。对输出的一定规则的采样通过映射可以形成一个0-1序列，而这个序列中纯0或纯1子块的长度及相应长度出现的概率都与系统本身的性质相关，甚至是由系统唯一确定！而对于四维系统，也似乎有类似的规律。在文章中，作者留下了三个关于零测度的小猜想并未证实。

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DeStefano, A., Thitsa, M. & Martin, C. Output digitization of simple measure-preserving linear systems. Control Theory Technol. 19, 430–443 (2021). https://doi.org/10.1007/s11768-021-00060-0

近期，Clyde Martin团队在期刊Control Theory and Technology上发表了对于之前文章的拓展研究，不仅对前文中的猜想进行了证明，还对这类系统进行了更深一步的研究。

在这篇文章中，其研究对象从圆面和2-环面拓展到了n-环面，而研究的序列也从特殊变成了一般。其目的在于表明用有限字母表定义的有界游程的序列集在某种意义上是很“小”的，或者说，他们集中在一组零测度中。在证明了这一点之后，我们又发现大部分此类序列是使用n-环面上的无理流生成的。第二个重要的结论是，所有最终的周期性序列都具有有限的游程长度，并且我们注意到由非线性移位寄存器生成的所有序列也在这一类中。最后一个结论是，有一大类伯努利序列具有有限游程，但是并非所有的伯努利序列都满足这个条件。

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DeStefano, A., Martin, C. The Borel measure of sequences with bounded run-length. Control Theory Technol. 20, 316–322 (2022). 

https://doi.org/10.1007/s11768-022-00102-1

通信作者

Dr. Clyde Martin

美国德克萨斯理工大学保罗·惠特菲尔德·霍恩(Paul Whitfield Horn)名誉教授。Clyde Martin在怀俄明大学获得数学专业硕士和博士学位。毕业后，他分别担任美国宇航局埃姆斯研究中心助理研究员、哈佛大学博士后研究员，以及德克萨斯理工大学讲座教授。曾在斯德哥尔摩皇家理工学院、日本京都大学和东京电机大学担任访问职务。他指导过120多名研究生，发表了400多篇论文。

期刊介绍

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Control Theory and Technology创刊于2003年, 由华南理工大学与中国科学院数学与系统科学研究院联合主办，主要报道系统控制科学中具有新观念、新思想的理论研究成果及其在各个领域中的应用。已被ESCI、EI、Scopus、INSPEC、Google Scholar、ACM 等众多数据库收录。