2023年暑假期间，笔者受丘成桐先生的嘱托，坚持十数年的传统，在线上讲解“计算共形几何”课程。目前课程过半，课程内容开始接近现代，同学们的学习热情依然高涨，令人深受鼓舞和感动。

去年的科技热点是生成式AI，笔者着重讲解了凸微分几何的Minkowski-Alexandrov理论和最优传输的Monge-Kantorovich-Brenier理论。今年工业软件的相关理论备受关注，在CAD/CAE应用中，很多工程问题可以归结为如下的数学问题：如何将曲面或者实体的局部几何构造推广至全局？在现代数学中，层的上同调理论是处理局部与整体关系的利器。因此在今年的课程设置中，笔者着重强调全纯线丛截面层的Cech上同调理论，这正是规则网格生成的理论基础。

层（sheaf）的概念与微分形式（differential form）的概念非常类似，它们初看都令人觉得虚无缥缈、抽象晦涩，宛若回声中的回声，但是真正理解之后会深刻体会到这些概念的提出提高了抽象层次，脱离了繁琐冗赘的初等推导过程，简洁优雅，一剑封喉。将微分形式应用于活动标架法，可以脱离局部坐标的张量推导，寥寥几笔就可以得出联络、曲率、超渡、陈类等微分几何的核心概念和定理。应用全纯线丛截面层的上同调，可以得出Riemann-Roch最为简洁普适的证明，并且可以直接向高维复流形推广，得到高维的Riemann-Roch定理，小平邦彦消没等定理，成为代数几何的关键工具。这种将几何问题用适当的同调群来表示的方法，与几何分析将几何问题用偏微分方程来表示的方法，相辅相成，相得益彰，非常令人激赏！如此美妙的思想，居然能够直接应用到汽车空气动力学仿真（图1，Cadence），汽车白体碰撞仿真（图3，Beta-CAE），这的确超出笔者的想象力。这再一次验证数学不可思议的美学价值和实用价值！

图 1. 基于计算共形几何的网格生成，应用于计算流体动力学 (with Hang Si, Chuanlin Lv and Ben Gu, Cadence Research)。

现代物理理论多用纤维丛来表达，物理场往往被视为某个纤维丛的全局截面，场的奇异点由纤维丛的示性类所决定。例如，流形上的某种力场，可以表达为切矢量场。局部上，我们非常容易构造处处非零的矢量场，但是当推广到全局时，必然会遇到拓扑或者几何障碍，不可避免地出现零点。矢量场可以被视为流形切丛的截面，其零点为切丛的示性类。这种理论框架也适用于CAD、CAE的各种全局几何构造，例如结构化网格。对于结构化网格而言，局部上非常容易构造，但是推广到全局时却遇到障碍，这种障碍表现为存在奇异顶点，（即拓扑度不等于4的顶点）。我们可以将结构化网格视为某种全纯线丛的全局截面，奇异顶点构成了线丛的示性类，满足特定的全局Abel-Jacobi方程；同时这种网格的存在性由Riemann-Roch理论所保证。因为结构化网格天然地具有共形结构，所以这里的纤维丛要强于通常的矢量丛，而是基于复几何的全纯线丛，其示性类也强于通常的陈类，满足更为苛刻的Abel定理。全纯线丛全局截面构成的空间，以及全局截面存在性的障碍，可以由线丛截面芽层的Cech上同调理论来精确描述，因此笔者今年的课程设置强调了这方面的理论和计算。

图2. 曲面四边形网格剖分可以被看作全纯线丛的整体截面。

在数学中，一个基本问题是研究局部和整体关系，层的上同调就是为这一目的而发明的利器。例如，黎曼面上的阿贝尔微分是非常基本的几何存在，曲面间的共形映射依赖于全纯1形式，曲面的Teichmuller空间依赖于全纯二次微分，曲面的可测叶状结构依赖于曲面的全纯二次微分，曲面上的实射影结构依赖于全纯三次微分，曲面的四边形网格依赖于亚纯四次微分，等等。这些Abel微分都可以被视为黎曼面上不同全纯线丛的全局截面。例如一个四边形网格自然诱导一个亚纯四次微分，对应的纤维丛是曲面全纯余切丛的4次幂，那么的零极点分布，即除子，就是的示性类，满足Abel-Jacobi方程 ，这里是任意的全纯1形式。那么我们随意给定几点，那么是否存在一个四边形网格，满足顶点在处，并且度为？如果存在，有多少种？换句话说，我们在点附近构造局部网格，可否将这些网格全局推广，严丝合缝地得到全局网格？这取决于曲面本身的共形结构和除子的分布，可以由全纯线丛截面芽层的Cech同调理论来解答。

图3. 汽车的水密NURBS表示，用于Iso Geometric Anylasis 模拟仿真白体碰撞（with Tom Hughes, Kendrick Shepherd, Beta-CAE research）。

基本的想法如下：假设是黎曼面上的一个全纯线丛，在的任意开集上可以定义局部全纯截面. 在任意点附近，我们可以定义的局部全纯截面，如此定义了所谓的截面芽（germ），点处所有的芽构成了茎（stalk），茎是一个阿贝尔群，上所有的茎构成了的全纯截面芽层（sheaf）。给定黎曼面的一个开覆盖，我们定义一个映射，为每个开集都赋予一个局部的全纯截面. 那么是否整体定义了全局截面？局部和全局的相容性条件自然如下：对于任意两个开集的交集，在交集上。为此，我们引入微分算子，。那么等价于是的全局截面。由此，我们看到给出在每个开集上的局部构造，给出了局部构造的整体相容条件。

图4. 由全纯1形式得到的曲面共形映射，和共形模。

我们将这个想法推广，开覆盖定义了所谓的Cech复形，每个开集对应一个顶点，每个-单形对应交集，边缘算子。维-上链 将映射到交集上的一个全纯截面, 所有的-上链构成上链空间. 引入微分算子，。如此，我们可以定义截面芽层的Cech上同调群

给出了所有全局截面，可以被视为全局截面障碍的刻画，同调群维数的交错和由Riemann-Roch定理给出，定义了线丛的Euler示性数, 由此可以推导线丛全局截面空间的维数。在实际应用中，如何将具体几何构造对应到相应纤维丛的截面，如何将几何构造的奇异集合联系到纤维丛的示性类，这些都是需要深入思考和大胆创造的。

图5. 基于Ricci流的网格生成，用于CAE仿真。

课程开始，笔者从组合的角度讲解代数拓扑，主要是同伦和同调理论，引入单纯上同调群的概念，同时介绍了持续同调的计算方法。

然后，笔者介绍黎曼度量概念，从而引入等温坐标，测地线，平行移动和高斯曲率这些基本概念。为了计算方便，我们引入Cartan外微分，微分形式的计算不依赖于局部坐标系，简洁优雅。结合活动标架法，我们得到联络（平行移动）和曲率的微分形式表达，从而得到Gauss-Bonnet定理的内蕴证明，进一步我们得到曲率形式是曲面切丛的陈省身示性类。

从微分形式，我们引入de Rham上同调群的概念，由黎曼度量我们得到调和微分的概念，Hodge理论断言每个de Rham上同调类中存在唯一的调和微分形式，从而将拓扑与分析联系起来。等价地，任意的-微分形式，存在唯一的分解：

这里,和分别为,和调和形式。由等温坐标，我们得到共形结构和黎曼面概念。我们给出黎曼面上测地线的常微分方程，进一步将测地线推广到曲面间的调和映照，用分析方法研究调和映照的存在性、唯一性和正则性，从而得出调和能量的二阶变分取决于曲率的洞察。

由Hodge理论和调和微分，我们得到黎曼面上的全纯微分。全纯微分与下同调群的相互作用得到黎曼面的周期矩阵，而周期矩阵是黎曼面的全系共形不变量（共形模）。我们应用几何复分析方法和代数拓扑方法，给出了具有不同拓扑黎曼面的共形模。从计算角度而言，全纯微分等价于曲面间共形映射的微分，通过构造带约束的全纯微分，我们可以计算零亏格、带边界曲面的共形模，和1亏格曲面的共形模。固定曲面拓扑，所有可能的共形结构构成的空间被称为Teichmuller空间，可以用黎曼面上的全纯二次微分来参数化。

通过应用几何复分析方法，我们证明了单值化定理，即单连通的黎曼面只有球面、复平面和单位圆盘。单值化定理的微分几何解释为任意带黎曼度量的可定向紧曲面都可以共形地形变为常高斯曲率曲面，取决于曲面的拓扑，常高斯曲率为中的一种。单值化计算归结为求解Yamabe方程，黎曼度量的共形变换为, 诱导的高斯曲率变化

最终由离散曲面Ricci流方法解决。Ricci流将黎曼度量形变，形变速度正比于当前曲率，使得曲率的演化符合反应-扩散方程，最后趋于常数。我们课程证明离散曲面Ricci流解的存在性、唯一性和收敛性。

全纯、亚纯函数的概念可以直接推广为黎曼面上的整体全纯、亚纯函数。黎曼面上所有的亚纯函数构成一个超越次数为1的域，两个黎曼面共形等价当且仅当它们对应的亚纯函数域同构。同时，黎曼面上的两个亚纯函数满足特定的代数方程，如此我们将黎曼面表示成一条代数曲线，即将黎曼面双全纯地嵌入到一个代数簇(的零点集合)之中。另外一种嵌入到代数族的方法更加直接，周期矩阵的列向量构成的格，为黎曼面的亏格，商空间被称为是黎曼面的Jacobi簇，通过积分全纯微分的基底，我们得到所谓的Abel-Jacobi映射，将黎曼面双全纯地嵌入到Jacobi簇中, 。亚纯函数的零极点构成了所谓的主除子，Abel定理给出主除子的充要条件：Abel-Jacobi像为零，

全纯微分可以推广为黎曼面上的三类Abel微分（亚纯微分），Abel微分在下同调群基底上的积分构成其周期。不同类Abel微分的周期具有双线性关系，由这些双线性关系，我们得到紧黎曼面的Riemann-Roch定理：给定除子，是所有亚纯函数构成的线性空间，满足；是所有亚纯微分构成的空间,满足，那么Riemann-Roch定理断言：

现代观点将和诠释成某种矢量丛的全局截面构成的线性空间。所谓黎曼面上的全纯线丛，就是以复平面为纤维，为底空间的矢量丛，丛投影将每根纤维映射为相应底流形上的点。丛局部平庸，整体扭曲，即存在黎曼面的开覆盖，限制在上同胚于直积空间，整体扭曲表达成转移函数，都是双全纯函数。所有的全纯线丛在丛同构等价关系下分类，商空间为全纯线丛类空间。所有的除子进行分类，两个除子如果相差一个整除子则彼此等价，除子类构成的群为。给定一个全纯线丛，任取一个亚纯截面，则得到一个除子. 反之，任给除子，我们为每一个构造一个亚纯函数，满足，从而得到转移函数, 可以构造全纯线丛. 由此得到

为同构。可以被诠释成的全纯截面空间，为的全纯截面空间，这里是黎曼面的全纯余切丛。如此Riemann-Roch定理可以被诠释为

给定全纯线丛和除子，的一个全局亚纯截面满足，那么是线丛的一个全局全纯截面，即

进一步，Riemann-Roch定理可以用的全纯截面芽层的Cech上同调来表示

这里上同调群是全纯线丛的全局全纯截面构成的线性空间，上同调群是将的局部全纯截面推广到全局截面的障碍。

黎曼面 给定一张曲面M，被一族开集覆盖，每个开集是拓扑圆盘，配有局部坐标, 如果局部坐标之间的变换函数都是双全纯函数， 则曲面被称为是一张黎曼面，局部坐标图册被称为是一个共形结构。假设亏格的黎曼面下同调群典范基底为，满足代数相交数条件：

全纯1次微分群的基底为，周期向量为

周期矩阵为 。Torelli定理断言，如果两个黎曼面共形等价，当且仅当它们的周期矩阵相等。由周期矩阵得到格

商空间被称为是黎曼面的Jacobi簇。

亚纯函数 传统的复变函数理论可以推广到黎曼面上，一个函数被称为是一个全纯（亚纯）函数，如果其限制在每一个局部坐标系上都是经典的全纯（亚纯）函数。任取黎曼面上一点，和一个局部坐标系， ，存在亚纯函数的Laurent展开:

如果，则是函数的一个零点，阶数记为；如果，则被称为是函数的一个极点，阶数为。亚纯函数的除子记为形式和

亚纯函数的除子被称为是主除子（principle divisor）。类似的，一个微分被称为是全纯（亚纯）次微分，这里为整数，如果其在局部坐标上的表示为，这里是全纯（亚纯）函数，并且当局部坐标变为时，，这里。假设是一个亚纯1次微分，则可以类似地将其零极点的形式和记为典范除子 .

除子类群 记为,所有零度的除子类构成子群 。 Abel-Jacobi映射将除子映射到Jacobi簇上，假设，那么

全纯线丛 黎曼面上的全纯线丛是一个复2维的复流形，丛映射是满射，

1. 存在的一个开覆盖和双全纯映射，即丛限制在开集上是直积，被称为是局部平凡化；
2. ,  , 即每点的纤维为复平面;
3. 任意， 存在全纯函数， 使得，,

即局部坐标变换限制在纤维上是线性的。这里被称为是转移函数（transition function），满足条件

全纯线丛可以用其平凡开覆盖和转移函数来表示. 如果存在全纯函数，使得转移函数，那么是平凡丛。

假设，是全纯线丛，全纯映射对被称为是丛同态,如果满足条件

1. ，即，，将点的纤维映入的纤维；
2. 限制在每根纤维都是线性同态.

如果存在丛同态，是互逆的双全纯映射,也是双全纯映射，则和丛同构。黎曼面上的所有全纯线丛依据丛同构分类，所有同构类成群，记为:

1. 平凡丛为单位元
2. 的逆元为
3. 和的乘积为

全纯线丛类群为阿贝尔群，即所谓的Picard群。

全纯线丛类群同构于除子类群 随意给定黎曼面上的除子，我们可以直接构造所谓的全纯线丛如下：首先构造一族开覆盖，使得任意两个开集之交为空, ; 然后为每个开集构造一个亚纯函数, 满足条件

即的零点和极点由在上的限制给出。那么在交集上，

因此是双全纯函数，转移函数满足条件：全纯线丛可以如下构造,

这里等价关系定义如下：对于任意, ，

如此从除子构造的全纯线丛记为。给定全纯线丛，我们任取一个亚纯截面, 则我们有, 由此容易证明为群同构。

全纯截面 全纯线丛的一个全纯截面是一个映射，满足条件：

1. 对所有的点，，即在点处的纤维中；
2. 是全纯的，即对任意局部平凡化，映射是全纯函数，记为.

如果，在上的局部表示为，那么

因此，全纯截面具有局部表示

全纯线丛的所有全纯微分记为。全纯线丛的亚纯截面也具有类似的表示，所有的亚纯截面集合记为。

Riemann-Roch定理断言：

截面层的上同调 给定全纯线丛，我们考虑丛的局部截面，即每个开集上的局部全纯截面，如此得到的全纯截面芽层的概念。固定一个点，点附近的一对局部全纯截面，等价，如果存在一个开集，，这样的一个局部全纯截面等价类被称为是一个处的全纯截面芽，处所有的全纯截面芽构成一个茎，则茎为阿贝尔群，黎曼面上所有的全纯截面芽构成的全纯截面层(sheaf)，记为。

由黎曼面的开覆盖，我们可以构造一个单纯复形，称为Cech复形，每个开集对应一个顶点，有序开集的交集对应一条有向边，类似的个有序开集的交集对应一个单形, 我们以的全纯截面芽层为系数群，单纯上同调群为Cech上同调群 。如此，Riemann-Roch定理被诠释成：

这里由Serre对偶，一阶Cech上同调群

这里是-值全纯微分截面芽层。我们知道，的全纯截面可以表示为 ，这里是定义在上的全纯函数，满足 ；-值的全纯微分截面可以表示为, 这里是局部定义的全纯1形式，满足.

共形几何课程已经过半，笔者希望同学们能够体会到代数拓扑、微分几何、几何偏微分方程、几何复分析领域的基本思想、证明脉络和计算方法，体会到这些概念、定理和算法后面自然结构的优美和谐。后半部分的课程更加接近现代，Ricci流理论是目前工程领域计算黎曼度量的唯一方法，全纯线丛示性类理论，层的上同调理论从更加抽象的层次统一了黎曼面理论与高维复几何理论，更加简洁明了，同时完美诠释了局部到整体的相容关系，给出了全局推广的拓扑几何障碍。这些基于现代几何理论的方法以前并不普及，目前已经在欧洲、北美的工程领域开始应用。我们期待广大同学们能够深入理解课程内容，透彻理解概念和定理，融会贯通证明技巧，熟练掌握计算方法，真正应用到各自的工程实践之中！

笔者计划继续线上的“计算共形几何课程”，北京时间每周一、三、五晚8：30开始。

腾讯会议号为：883 2148 2191，

B站直播网址为：http://online.conformalgeometry.org/