Nature：几何，AI来了

几何，数学中研究空间结构及性质的一门学科，各位读者在中学肯定都学过一些，但学的好的有几何？笔者知道不少学霸小伙伴此时会潇洒一笑，心里默念“有我一个”，不过这里说的“学的好”，标准可能要稍微高一点点，不仅仅是会解答或证明高考试卷上的那些普通几何题，而是要挑战“国际数学奥林匹克竞赛（IMO）”这个难度级别的题目。下面是2023年第64界IMO的一道几何题 ^[1]，各位“学的好”的小伙伴可以自行感知一下难度。

2023年第64界IMO的第2题。图片来源：IMO ^[1]

IMO面向全世界的高中生，但高中时有资格参加这项比赛的，无疑都是各个国家的数学大神。我国每年参加此项赛事的高中生只有6名左右，个个都是精英中的精英。此前颇受社交媒体关注的“韦神”，高一和高二时两次参加IMO都以满分成绩获得金牌，实打实的神级表现。

奥数这么难，当前红得发紫的人工智能（AI）怎么看？老实说，AI还真没什么看法，包括目前牛的不行的以ChatGPT为代表的各种大语言模型。不信的话，各位可以试一试让它们证明几道简单的初中几何题。究其原因，还是目前机器学习方法并不适用于大多数数学领域。以几何定理证明为例，将人类的证明转换为机器可验证的格式成本太高，训练数据非常稀缺，没有大量的训练，也就没有出色的AI。例如，谷歌为研究目的开发了一个名为Minerva的数学聊天机器人，训练数据来自人类撰写的高等数学论文和中小学水平的数学问题解答，尽管一般数学题目Minerva得出的数值解通常是正确的，但它对于解题思路的解释往往错误频出。“如果一个系统是用自然语言训练的，它输出的也是自然语言，这无法使人信服。”谷歌DeepMind的计算机科学家Trieu Trinh评论道。^[2]

近日，谷歌DeepMind的计算机科学家Trieu Trinh、Thang Luong等人在Nature 发表论文，报道了一个欧几里得平面几何的AI定理证明器AlphaGeometry，能够以接近IMO金牌得主的平均水平解答IMO水平的几何题目。在一组包含30道IMO难度几何题目的测试中，AlphaGeometry解出了25道题，略低于IMO金牌得主的平均水平，而此前AI的最佳表现也不过是解出了10道题。重要的是，AlphaGeometry给出的证明人类完全能看懂。经人类专家评估，AlphaGeometry成功解出了IMO 2000年和2015年的所有几何题，这些题目在当时人类选手的评价中都是难题。

AlphaGeometry解答一个简单题和IMO 2015年第3题。图片来源：Nature

谷歌DeepMind的研究者没有使用自然语言来训练AI，而是开发了一种语言用于书写几何证明，这种语言具有类似于计算机编程语言的严格语法，因此，相关解答可以很容易地被计算机“理解”，同时对人类来说也能看懂。该团队专注于欧几里得几何中的问题，目标是为给定结论写出数学证明。他们在这种自定义语言中嵌入了几十条基本的几何规则，比如“如果一条直线与两条平行直线中的一条相交，它也会与另一条相交”。随后，他们编写了一个程序来自动生成数以百万计的不同复杂程度的定理及证明作为训练数据。从本质上讲，这些证明包含简单但逻辑上无懈可击的步骤的随机序列，比如“给定两点A和B，可构造正方形ABCD”。而AlphaGeometry是一个神经符号系统（neuro-symbolic system），使用经过上述大规模合成数据从零开始训练的神经语言模型，来指导符号推理引擎解决几何难题。

AlphaGeometry合成数据生成过程。图片来源：Nature

这些研究者认为，用自动生成的合成数据来训练AlphaGeometry，可以建立一个不依赖于人类数据的系统，如此AlphaGeometry就有希望在未来获得超越人类的能力。此外，使用合成数据来训练AI还有另外一个好处，就是可以消除典型大语言模型用于数学问题时的潜在陷阱——作弊，毕竟大语言模型训练数据量巨大，很难保证这个模型以前没有遇到过用户提交的数学问题。

所生成的合成数据分析。图片来源：Nature

AlphaGeometry通过一步一步地猜测来解决问题，就像聊天机器人生成文本一样。但这也意味着它的输出是机器可读的，并且易于检查其准确性。对于每个问题，AlphaGeometry都会生成解决方案的多种尝试，然后自动清除错误的内容，最终可靠地生成正确的结果，包括IMO的几何题。这样看来，AlphaGeometry将语言模型统计猜测与符号推理结合在一起，也是其优异表现的基础。具体来说，AlphaGeometry在一组包含30道IMO难度几何题目的测试中解出了25道题，略低于IMO金牌得主平均25.9题的水平，高于IMO银牌的平均22.9道、铜牌的平均19.3道以及所有选手的平均15.2道。相比之下，此前最佳AI的表现只是解出了10道题，明显低于IMO参赛选手的平均水平。

AlphaGeometry证明几何定理接近IMO金牌得主的平均水平。图片来源：Nature

有意思的是，AlphaGeometry不仅成功解出了IMO 2000年和2015年的所有几何题，还在IMO 2004年第1题中发现了一个可有可无的条件（如下图）。这也就是说，AlphaGeometry发现了一个比原题结论更加广义的定理。

AlphaGeometry的新发现。图片来源：Nature

当然，目前AlphaGeometry的水平还没有达到人类最高的水平——历年IMO都不乏满分金牌选手。而且，几何只是IMO的一个版块，对于AI来说，解决其他领域的IMO问题（如数论、组合）可能要困难得多。不过，谁又能小瞧AI的进步速度呢，毕竟例子摆在那里：围棋领域里AlphaGo与人类顶尖棋手对弈，从互有胜负到难求一败也就用了一年左右的时间。

原文（扫描或长按二维码，识别后直达原文页面，或点此查看原文）：

Solving olympiad geometry without human demonstrations

Trieu H. Trinh, Yuhuai Wu, Quoc V. Le, He He & Thang Luong 

Nature, 2024, 625, 476–482, DOI: 10.1038/s41586-023-06747-5

参考资料：

1. IMO Problems 2023

https://www.imo-official.org/problems.aspx 

2. DeepMind AI solves geometry problems at star-student level

https://www.nature.com/articles/d41586-024-00141-5 

（本文由甘棠供稿）